Zbiory - część wspólna, suma, różnica, dopełnienie

Wyobraź sobie, że w pewnej przestrzeni x znajdują się dwa zbiory. Niektóre elementy zbioru A pokrywają się z elementami zbioru B.

Jak opisać zależności między zbiorami A, B oraz zbiorem x?

• A i B mają część wspólną. Należy ona jednocześnie do obu zbiorów.. Opisujemy ją tak:

A∩B [czytaj: A część wspólna B]

[w tym przypadku - chodzi o zapis powyżej - x to jakiś element należący do obu zbiorów]

• Chcemy dodać A i B. Czyli obliczyć sumę zbiorów. Obrazujemy to tak.

A∪B [czytaj: A suma B]

• Na zbiorach można też wykonywać działanie różnicy. Chcąc zobrazować zbiór A minus zbiór B, odejmujemy wszystkie części należące do B od części A.

A/B [czytaj: A minus B]

B/A

x/B

A/x

Kiedy odejmujemy od zbioru A zbiór x, wynikiem jest zbiór pusty. Dlaczego? Dzieje się tak dlatego, że w zbiorze A jest pewna część x, bo A należy do x. Kiedy od A odejmiemy wszystko ze zbioru x wynikiem jest nic, czyli zbiór pusty - ∅.

• Jest jeszcze operacja zwana dopełnieniem zbioru. Dopełnienie danego zbioru to wszytskie elementy poza danym zbiorem. Zbiór liczbowy wraz ze swoim dopełnieniem tworzy całą przestrzeń. W skrócie: 

A' [czytaj: A prim]

B'

Zapisy formalne

Przy każdym z objaśnień widniały formalne zapisy. Warto je znać, ale kiedy będą one potrzebne np. podczas wyznaczania przedziałów na osi liczbowej, to zasady działań na zbiorach powinny pojawić Ci się w głowie automatycznie, chociażby sam mechanizm pokazany na obrazku.

Jak czytać formalne zapisy?

[x należy do A część wspólna B wtedy, i tylko wtedy kiedy istnieje taka liczba x, że x należy do A i należy do B (czyli należy jednocześnie do A i B]

[x należy do A minus B wtedy, i tylko wtedy gdy istnieje taka liczba x należąca do A, która nie należy do B

Do odczytywania takich formalnych zapisów warto znać podstawy logiki i zapisu zdań logicznych: Tutaj.

Taki dłuższy wpis. Wkrótce przedstawię wam działania na zbiorach na konkretnych przykładach.

A. G.