Zbiory - część wspólna, suma, różnica, dopełnienie

Wyobraź sobie, że w pewnej przestrzeni x znajdują się dwa zbiory. Niektóre elementy zbioru A pokrywają się z elementami zbioru B.
Jak opisać zależności między zbiorami A, B oraz zbiorem x?

  • A i B mają część wspólną. Należy ona jednocześnie do obu zbiorów.. Opisujemy ją tak:

A∩B [czytaj: A część wspólna B]
x \in A \cap B \Leftrightarrow \forall {x} (x \in A \wedge x \in B)
[w tym przypadku - chodzi o zapis powyżej - x to jakiś element należący do obu zbiorów]


  • Chcemy dodać A i B. Czyli obliczyć sumę zbiorów. Obrazujemy to tak.

A∪B [czytaj: A suma B]
x \in A \cup B \Leftrightarrow \forall {x} (x \in A \vee x \in B)
  • Na zbiorach można też wykonywać działanie różnicy. Chcąc zobrazować zbiór A minus zbiór B, odejmujemy wszystkie części należące do B od części A.

A/B [czytaj: A minus B]
x \in A \setminus B \Leftrightarrow \forall_{x \in A} \neg x \in B
B/A
x/B
A/x
Kiedy odejmujemy od zbioru A zbiór x, wynikiem jest zbiór pusty. Dlaczego? Dzieje się tak dlatego, że w zbiorze A jest pewna część x, bo A należy do x. Kiedy od A odejmiemy wszystko ze zbioru x wynikiem jest nic, czyli zbiór pusty - ∅.


  • Jest jeszcze operacja zwana dopełnieniem zbioru. Dopełnienie danego zbioru to wszytskie elementy poza danym zbiorem. Zbiór liczbowy wraz ze swoim dopełnieniem tworzy całą przestrzeń. W skrócie: A \cup A' = X

A' [czytaj: A prim]
x \in A' \Leftrightarrow x \notin A
A \cup A' = X
B'

Zapisy formalne

Przy każdym z objaśnień widniały formalne zapisy. Warto je znać, ale kiedy będą one potrzebne np. podczas wyznaczania przedziałów na osi liczbowej, to zasady działań na zbiorach powinny pojawić Ci się w głowie automatycznie, chociażby sam mechanizm pokazany na obrazku.

Jak czytać formalne zapisy?
x \in A \cap B \Leftrightarrow \forall {x} (x \in A \wedge x \in B)
[x należy do A część wspólna B wtedy, i tylko wtedy kiedy istnieje taka liczba x, że x należy do A i należy do B (czyli należy jednocześnie do A i B]
x \in A \setminus B \Leftrightarrow \forall_{x \in A} \neg x \in B
[x należy do A minus B wtedy, i tylko wtedy gdy istnieje taka liczba x należąca do A, która nie należy do B

Do odczytywania takich formalnych zapisów warto znać podstawy logiki i zapisu zdań logicznych: Tutaj.

Taki dłuższy wpis. Wkrótce przedstawię wam działania na zbiorach na konkretnych przykładach.

A. G.





Komentarze

Prześlij komentarz

Popularne posty z tego bloga

Koniunkcja, alternatywa, implikacja i równoważność zdań (logika)

Obraz
Proste zdania logiczne można składać w bardziej złożone. symbol logiczny spójnik nazwa zdania złożonego ∧ i koniunkcja ∨ lub alternatywa ¬ , ~ nieprawda, że... negacja (zaprzeczenie) ⇒ jeżeli..., to... implikacja ⇔ wtedy i tylko wtedy, gdy... równoważność Koniunkcja p ∧ q [czytaj: p i q] nazywamy koniunkcją zdań w sensie logiki Dajmy na przykład dwa zdania: p - Mam dwie siostry q - Mam brata p ∧ q - Mam dwie siostry i mam brata. Przypadki: Mam dwie siostry (:1) i mam brata (:1); więc wartość logiczna zdania złożonego to :1 [p ma wartość logiczną :1 i q ma wartość logiczną :1 Mam dwie siostry (:1) i mam brata (:0); więc wartość logiczna zdania złożonego to :0 Mam dwie siostry (:0) i mam brata (:1); więc wartość logiczna zdania złożonego to :0 Mam dwie siostry (:0) i mam brata (:0); więc wartość logiczna zdania złożonego to :0 Alternatywa p ∨ q [czytaj: p lub q]  nazywamy alternatywą zdań w sensie logiki Więc jeśli przynajmnie...
Czytaj więcej

Zbiory liczbowe cz.1

Obraz
Jeśli posługujemy się matematyką, powinniśmy znać podstawowe zbiory liczbowe, na których wykonujemy obliczenia. Wyróżniamy 5 zbiorów: Rozpoczniemy od najbardziej podstawowego zbioru tzn. LICZBY NATURALNE Najprościej mówiąc są to liczby rzędu N = {0, 1, 2, 3...} Posługujemy się nimi już od najmłodszych lat oraz to ten właśnie zbiór powstał jako pierwszy, bo to właśnie nim posługiwali się nasi starożytni przodkowie. Kwestią sporną jest, czy liczba 0 jest liczbą naturalną. Zastosujemy zapis liczb naturalnych dodatnich - w tym przypadku mamy pewność, że zero nie jest ani ujemne ani dodatnie. [czyt. liczby naturalne dodatnie to liczby naturalne z wykluczeniem zera] LICZBY CAŁKOWITE Nie można jednak bazować na samych liczbach dodatnich i zerze. W grę wkraczają liczby ujemne. Więc: Z = {... -2, -1, 0, 1, 2...} Liczby całkowite to zbiór, który jest bardzo związany z liczbami naturalnymi. Możemy go zapisać tak: [czytaj: liczby całkowite to odwrotność licz...
Czytaj więcej