Kocham Matmę

KWANTYFIKATORY Myślisz sobie: "Chora nazwa! Pewnie to jakaś matematyka wyższa, wolę tego nie ruszać." A jednak nie! Kwantyfikatory to po prostu skrót, dzięki któremu możemy zapisać długie zdania w krótkiej formie. Stosujemy je głownie w zbiorach i logice. 1. Istnieją dwa kwantyfikatory: kwantyfikator ogólny    czytamy go tak: "dla każdego x..." kwantyfikator szczegółowy    czytamy go: "istnieje takie x, że..." Info: Ze względu na to, że występują problemy z drukowaniem i pisaniem znaków kwantyfikatorów, stosujemy zapis   dla kwantyfikatora ogólnego, a   dla kwantyfikatora szczegółowego (od ang. Exist). Znajdziesz je w starszych podręcznikach. 2. Przykłady zapisu kwantyfikatorów: [dla każdego n należącego do zbioru liczb całkowitych, że n do sześcianu jest większe od zera] ∀ x   ∈   R   x 2 ≥ 0 [dla każdego x należącego do liczb rzeczywistych x do kwadratu jest większe lub równe zero] ∃ n   ∈   N ...

PRZYPOMNIENIE O ROZWIĄZYWANIU RÓWNAŃ Równania już pewnie znasz. Jest to wyrażenie z przynajmniej jedną niewiadomą. Przykład rozwiązania równania: 3x+7x + 10 = 20 - 10x na początku REDUKUJEMY (nie od razu przenosimy wyrazy) 10x + 10 = 20 - 10x teraz przenosimy wyrazy (iksy na jedną stronę, liczby na drugą) pamiętaj o znakach , jeśli coś ma znak dodatni, to przenosisz to ze znakiem ujemnym i odwrtonie 10 x + 10x = 20 - 10 20x = 10 x = 10/20 x = 1/2 = 0,5 DZIEDZINA RÓWNANIA Wikipedia:  Zbiór wszystkich wartości, które po podstawieniu pod niewiadome czynią z formuły  zdanie logiczne , nazywa się dziedziną równości. No dobra, ale taka definicja nic nam nie daje. Po swojemu definiuję to tak: Dziedzina to zbiór, w którym szukamy rozwiązania do danego równania. Na przykład: D = R (dziedzina to liczby rzeczywiste)  w równaniu np. 10x + 5 = 15 Oznacza to, że szukamy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. Aby zagłębić się w wyznaczaniu dziedz...

Jeśli znasz już zasadę tworzenia zdań prostych np. koniunkcji, alternatywy etc, to czas poznać metodę dowodzenia. Jeżeli mamy zdanie: p ⇒ (p ∨ (∼q)) Możemy postarać się dowieść prawdy twierdzenia  p ⇒ (p ∨ (∼q)) [czyt. jeżeli p to p lub nie q] Przygotowujemy tabelkę. W tabeli umieszczamy odpowiednio, po kolei: p q ∼q p ∨ (∼q) oraz całe zdanie złożone:   p ⇒ (p ∨ (∼q)) p q ∼ q ( p ∨ ( ~ q) ) p ⇒ ( p ∨ ( ~ q) ) 1 1 . . . 1 0 . . . 0 1 . . . 0 0 . . . Przygotowaliśmy tabelkę i przyporządkowaliśmy wartości dla p i q.  Teraz będziemy wpisywać wartości logiczne dla poszczególnych przypadków. ~q to zaprzeczenie dla q, więc bedzie miało przeciwną wartość.  (p∨ (~q)) - teraz porównujemy pierwszą kolumnę tabeli i trzecią ze znakiem ∨. :1 ∨ :0 = wartość logiczna :1 (dlatego należy pamięt...

Proste zdania logiczne można składać w bardziej złożone. symbol logiczny spójnik nazwa zdania złożonego ∧ i koniunkcja ∨ lub alternatywa ¬ , ~ nieprawda, że... negacja (zaprzeczenie) ⇒ jeżeli..., to... implikacja ⇔ wtedy i tylko wtedy, gdy... równoważność Koniunkcja p ∧ q [czytaj: p i q] nazywamy koniunkcją zdań w sensie logiki Dajmy na przykład dwa zdania: p - Mam dwie siostry q - Mam brata p ∧ q - Mam dwie siostry i mam brata. Przypadki: Mam dwie siostry (:1) i mam brata (:1); więc wartość logiczna zdania złożonego to :1 [p ma wartość logiczną :1 i q ma wartość logiczną :1 Mam dwie siostry (:1) i mam brata (:0); więc wartość logiczna zdania złożonego to :0 Mam dwie siostry (:0) i mam brata (:1); więc wartość logiczna zdania złożonego to :0 Mam dwie siostry (:0) i mam brata (:0); więc wartość logiczna zdania złożonego to :0 Alternatywa p ∨ q [czytaj: p lub q]  nazywamy alternatywą zdań w sensie logiki Więc jeśli przynajmnie...

Wikipedia daje nam następującą definicję logiki: Logika  ( gr.  λόγος,  logos ,  rozum , słowo, myśl) – nauka o sposobach jasnego i ścisłego formułowania myśli, o regułach poprawnego  rozumowania  i uzasadniania twierdzeń. My będziemy zajmować się tzw. zdaniami w sensie logiki. Zdanie w sensie logiki to zdanie, któremu można przyporządkować ocenę prawdy [wartość logiczna: 1] lub ocenę fałszu [wartość logiczna: 0]. Zdania w logice opisujemy literami: p,q, r, s, t... Przykłady zdań logicznych: Trójkąt równoramienny ma zawsze wszystkie boki równe. :0 (wartość logiczna 0 - fałsz) Dziś będzie padać lub dziś będzie słonecznie. (tutaj nie znamy wartości logicznej, ale to jest zdanie w sensie logiki) 5 ≤ 1+7  :1 Zdania, które nie są logiczne: Czy będzie dzisiaj padać? Zamknij okno. Pole kwadratu jest większe od pola prostokąta. Zadanie Które z podanych zdań są zdaniami w sensie logiki? Zdaniom logicznym przyporządkuj wartość logic...

Mamy liczbę 2310. Musimy wyszukać wszystkie dzielniki liczby. Czy masz zamiar sprawdzać każdą kolejną liczbę, czy jest zdolna podzielić 2310? Mam nadzieję, że nie. Mam dla Ciebie łatwiejszy sposób. Warto wiedzieć, a właściwie konieczna jest znajomość pewnej reguły : d - dzielnik liczby l l -  liczba Oznacza to, że warto sprawdzić, czy wypisać sobie kolejne liczby do liczby, która jest wynikiem pierwiastka z liczby.  W naszym przypadku √2310 = 48,... , czyli 48 z hakiem. Wypisujemy więc liczby od 1 do 48. Żmudna robota, myślisz? Będzie łatwiej niż ci się wydaje. Zakreślamy w kółko liczby, które sprawdziliśmy i są dzielnikami naszej liczby 2310. Ułatwieniem jest, że jeśli np. liczba 4 nie dzieli liczby 2310, to i jej wielokrotności również. Więc i 8, 12, 16, 20... też nie dzielą naszej liczby. To samo z liczbą 9. Więc 18, 27... etc też nie dzielą 2130. Sprawdziliśmy wszystkie liczby. Teraz druga część obliczeń. A mianowicie chcemy sprawdzić ILE D...