Zbiory liczbowe cz.2

LICZBY NIEWYMIERNE

Definicja jest dość dziwna, a mianowicie: Liczby niewymierne to liczby, które nie są wymierne. 

Przykładami liczb niewymiernych są: IQ = {√2, √3+1, π, e}

Przynależność danej liczby można dowieść za pomocą podstawowych informacji o zbiorach. Na początku może wydawać się, że jest to skomplikowane. Jednak wszystko da się wyjaśnić.

dowodzenie przynależności √2 do zbioru liczb niewymiernych

Będą do tego potrzebne umiejętności z logiki. Na początku stosujemy prawo podwójnego zaprzeczenia i przechodzimy z niego na "język"/sposób zapisu w zbiorach.

Następnie przy użyciu kwantyfikatora "istnieje takie p,q należące do zbioru liczb całkowitych..." stawiamy, że pierwiastek można zapisać za pomocą ułamka. NWD licznika i mianownika wynosi 1.

Przekształcamy wzór. W wyniku tego dowiadujemy się, że p^2 jest podzielne przez 2, a w wyniku tego p jest również podzielne przez 2.

Kwantyfikatorem zapisujemy "istnieje takie k, że p = 2k. Czyli zapisujemy p w postaci 2k - bo wiemy, że jest podzielne przez 2.

Podstawiamy to do wzoru. 

Wychodzi nam, że q jest podzielne przez 2. Niestety widnieje sprzeczność, bo jeśli obie liczby (p i q) byłyby parzyste, to ich NWD wynosiłby 2. Jednak wynosi 1.

Dowiedliśmy, że √2 należy do IQ.

LICZBY RZECZYWISTE

Wszystkie zbiory liczbowe (N, Z, Q, IQ) zawierają się/należą do zbioru liczb rzeczywistych. 

[(N ∋ Z ∋Q) ∪ IQ] ∈ R

Poza zbiorami N, Z, Q i IQ nie ma innych liczb, które należałyby do zbioru R. Więc wszystko poza zbiorami N, Z, Q i IQ to ∅ - zbiór pusty. Zapis graficzny ukazałam na rysunku.

Miłego dnia wszystkim,

A. G.