Twierdzenie Pitagorasa - twierdzenie, wzór i przykłady zadań

Twierdzenie i wzór

Jeden z najwybitniejszych starożytnych filozofów i matematyków, Pitagoras opracował wiele twierdzeń i zależności matematycznych znanych nam do dziś. Jednym z nich jest Twierdzenie Pitagorasa. Dotyczy ono obliczania długości boków w trójkącie prostokątnym. Brzmi ono następująco:

W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Wzór: a^{2}+b^{2}=c^{2}.

***

Mamy sobie trójkąt prostokątny. Jak głosi twierdzenie, możemy sobie narysować kwadraty. Wzór na pole kwadratu to a² czyli a*a, tak dla jasności.



Dlaczego suma kwadratów o boku a i o boku b jest równa kwadratowi c?
Znalezione obrazy dla zapytania twierdzenie pitagorasa
Na 1 obrazku powyżej widnieją 4 trójkąty prostokątne i kwadrat o boku c w kwadracie o boku a+b.
N 2 obrazku widzimy 4 trójkąty prostokątne oraz kwadraty o boku a i o boku b w kwadracie o boku a+b.
Jeżeli odejmiemy od obu dużych kwadratów po 4 trójkąty prostokątne abc, to pozostanie nam kwadrat p boku c w pierwszym, oraz kwadraty o boku a i o boku b w drugim.
Więc: c² = a² + b²

Jest to najprostsze przestawienie równości w twierdzeniu Pitagorasa, czyli układanka. Również można "namacalnie" przedstawić to za pomocą pociętych kartek papieru, ale i w obliczeniach lub przy zastosowaniu odpowiednich własności np. przystawania czy podobieństwa trójkątów.

***

Dość już tego wywodu. Zapamiętaj tylko wzór i definicję. Czas na zadania.

Zadania z zastosowaniem twierdzenia

1. Oblicz przeciwprostokątną podanego trójkąta.

a² + b² = c²
3² + 4² = c²
9 + 16 = c²
25 = c²
√25 = c
c = 5

Powyższy trójkąt zwany jest trójkątem pitagorejskim. Trójkąt pitagorejski to trójkąt prostokątny, którego boki można zapisać za pomocą liczb naturalnych. Są to również trójkąty o bokach: 6x8x10; 9x12x15; 5x12x13...

2. Oblicz szukany bok trójkąta.

a² + 4² = 12²
a² + 16 = 144
a² = 144 - 16
a² = 128
a = √128



3. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne o długości 5 i 7. Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta. 
5² + 7² = c²
25 + 49 = c²
74 = c²
c = √74
Miłego dnia,
A. G.

Komentarze

Prześlij komentarz

Popularne posty z tego bloga

Koniunkcja, alternatywa, implikacja i równoważność zdań (logika)

Obraz
Proste zdania logiczne można składać w bardziej złożone. symbol logiczny spójnik nazwa zdania złożonego ∧ i koniunkcja ∨ lub alternatywa ¬ , ~ nieprawda, że... negacja (zaprzeczenie) ⇒ jeżeli..., to... implikacja ⇔ wtedy i tylko wtedy, gdy... równoważność Koniunkcja p ∧ q [czytaj: p i q] nazywamy koniunkcją zdań w sensie logiki Dajmy na przykład dwa zdania: p - Mam dwie siostry q - Mam brata p ∧ q - Mam dwie siostry i mam brata. Przypadki: Mam dwie siostry (:1) i mam brata (:1); więc wartość logiczna zdania złożonego to :1 [p ma wartość logiczną :1 i q ma wartość logiczną :1 Mam dwie siostry (:1) i mam brata (:0); więc wartość logiczna zdania złożonego to :0 Mam dwie siostry (:0) i mam brata (:1); więc wartość logiczna zdania złożonego to :0 Mam dwie siostry (:0) i mam brata (:0); więc wartość logiczna zdania złożonego to :0 Alternatywa p ∨ q [czytaj: p lub q]  nazywamy alternatywą zdań w sensie logiki Więc jeśli przynajmnie...
Czytaj więcej

Zbiory - część wspólna, suma, różnica, dopełnienie

Obraz
Wyobraź sobie, że w pewnej przestrzeni x znajdują się dwa zbiory . Niektóre elementy zbioru A pokrywają się z elementami zbioru B. Jak opisać zależności między zbiorami A, B oraz zbiorem x? A i B mają część wspólną. Należy ona jednocześnie do obu zbiorów.. Opisujemy ją tak: A∩B  [czytaj: A część wspólna B] [w tym przypadku - chodzi o zapis powyżej - x to jakiś element należący do obu zbiorów] Chcemy dodać A i B. Czyli obliczyć sumę zbiorów. Obrazujemy to tak. A∪B  [czytaj: A suma B] Na zbiorach można też wykonywać działanie różnicy. Chcąc zobrazować zbiór A minus zbiór B, odejmujemy wszystkie części należące do B od części A. A/B [czytaj: A minus B] B/A x/B A/x Kiedy odejmujemy od zbioru A zbiór x, wynikiem jest zbiór pusty. Dlaczego? Dzieje się tak dlatego, że w zbiorze A jest pewna część x, bo A należy do x. Kiedy od A odejmiemy wszystko ze zbioru x wynikiem jest nic, czyli zbiór pusty -  ∅ . Jest ...
Czytaj więcej

Zbiory liczbowe cz.1

Obraz
Jeśli posługujemy się matematyką, powinniśmy znać podstawowe zbiory liczbowe, na których wykonujemy obliczenia. Wyróżniamy 5 zbiorów: Rozpoczniemy od najbardziej podstawowego zbioru tzn. LICZBY NATURALNE Najprościej mówiąc są to liczby rzędu N = {0, 1, 2, 3...} Posługujemy się nimi już od najmłodszych lat oraz to ten właśnie zbiór powstał jako pierwszy, bo to właśnie nim posługiwali się nasi starożytni przodkowie. Kwestią sporną jest, czy liczba 0 jest liczbą naturalną. Zastosujemy zapis liczb naturalnych dodatnich - w tym przypadku mamy pewność, że zero nie jest ani ujemne ani dodatnie. [czyt. liczby naturalne dodatnie to liczby naturalne z wykluczeniem zera] LICZBY CAŁKOWITE Nie można jednak bazować na samych liczbach dodatnich i zerze. W grę wkraczają liczby ujemne. Więc: Z = {... -2, -1, 0, 1, 2...} Liczby całkowite to zbiór, który jest bardzo związany z liczbami naturalnymi. Możemy go zapisać tak: [czytaj: liczby całkowite to odwrotność licz...
Czytaj więcej